Nel 1928, il matematico ungherese John von Neumann pubblicò sulla rivista Mathematische Annalen un articolo destinato a fondare un’intera disciplina scientifica: “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele” (“Sulla teoria dei giochi di società”). In sole poche decine di pagine, von Neumann pose le basi matematiche rigorose per lo studio delle situazioni di conflitto e cooperazione strategica, anticipando di quasi vent’anni il trattato monumentale che avrebbe scritto insieme a Oskar Morgenstern, Theory of Games and Economic Behavior (1944), considerato oggi il testo fondativo della moderna teoria dei giochi.

Von Neumann si poneva un problema apparentemente ricreativo, ma dalle implicazioni profonde: è possibile analizzare matematicamente giochi come gli scacchi, il poker o giochi di società più semplici, in cui più giocatori con interessi contrapposti prendono decisioni strategiche in condizioni di informazione parziale? A differenza dei problemi di probabilità pura (come i giochi d’azzardo, già ben studiati), qui la difficoltà stava nel fatto che ogni giocatore doveva tener conto delle scelte razionali degli avversari, i quali a loro volta anticipavano le proprie mosse, in una catena di ragionamento circolare apparentemente senza fine.

L’articolo nasce anche dal desiderio di superare i limiti dell’approccio combinatorio puro (come quello usato da Ernst Zermelo nel 1913 per dimostrare che gli scacchi sono, in linea di principio, un gioco “risolvibile”), proponendo invece un quadro concettuale generale applicabile a un’ampia classe di giochi, inclusi quelli con informazione imperfetta e interazioni non puramente conflittuali.

Il cuore dell’articolo è dedicato ai giochi a somma zero a due giocatori, situazioni in cui il guadagno di un giocatore corrisponde esattamente alla perdita dell’altro. Von Neumann formalizza il gioco attraverso la nozione di strategia: non la singola mossa, ma un piano d’azione completo che specifica cosa fare in ogni possibile situazione che potrebbe presentarsi durante la partita. Questa astrazione — ridurre un gioco complesso, con le sue mosse sequenziali, a una scelta simultanea tra strategie complete — è uno dei contributi concettuali più importanti dell’articolo, perché permette di rappresentare qualunque gioco, per quanto complesso, come una semplice matrice di payoff.

Il risultato centrale dell’articolo è il celebre teorema del minimax, che von Neumann dimostra rigorosamente per la prima volta. Il teorema afferma che in ogni gioco a somma zero a due giocatori con un numero finito di strategie, esiste sempre una coppia di strategie (eventualmente miste, cioè scelte secondo una distribuzione di probabilità) tale che:

• il valore che il primo giocatore può garantirsi massimizzando il proprio guadagno minimo garantito (il “massimo dei minimi”);
• coincide esattamente con;
• il valore che il secondo giocatore può garantirsi minimizzando la perdita massima a cui si espone (il “minimo dei massimi”).

In altre parole, esiste sempre un valore del gioco su cui entrambi i giocatori razionali convergono: nessuno dei due può fare meglio agendo unilateralmente e nessuno dei due è costretto a fare peggio. Questo risultato risolve un’apparente circolarità logica — “io penso che lui pensa che io penso…” — mostrando che, sotto ipotesi ragionevoli di razionalità, tale regresso infinito ha comunque una soluzione matematica ben definita e calcolabile.

La dimostrazione di von Neumann si basa su argomenti di natura topologica e combinatoria (in particolare legati a proprietà di convessità e a un uso implicito di risultati simili al teorema del punto fisso di Brouwer), un approccio tecnico sofisticato per l’epoca, che sarebbe poi stato semplificato e reso più elegante nei decenni successivi.

Un’intuizione cruciale dell’articolo è che, in molti giochi, non esiste una strategia pura ottimale prevedibile — se un giocatore adottasse sempre la stessa linea d’azione, l’avversario potrebbe sfruttarla sistematicamente. Von Neumann introduce quindi la nozione di strategia mista: la scelta casuale tra diverse strategie pure, secondo probabilità ben calcolate, in modo da rendere il proprio comportamento imprevedibile all’avversario razionale. Questa idea, oggi centrale in teoria dei giochi (si pensi al bluff nel poker o alla scelta imprevedibile tra rigore a destra o sinistra nel calcio), trova qui una delle sue prime formalizzazioni matematiche rigorose.

L’articolo del 1928 si concentra quasi esclusivamente sui giochi a due giocatori a somma zero, un caso relativamente “pulito” perché gli interessi dei due partecipanti sono perfettamente opposti. Von Neumann era consapevole che la maggior parte delle situazioni economiche e sociali reali coinvolge più di due attori e non è a somma zero — pensiamo alla cooperazione, alle coalizioni, alla contrattazione. Fu proprio per affrontare questa complessità maggiore che, sedici anni dopo, von Neumann collaborò con l’economista Oskar Morgenstern per scrivere Theory of Games and Economic Behavior, opera che estese il quadro teorico a giochi cooperativi, coalizioni e applicazioni sistematiche all’economia, dando origine alla teoria dei giochi come disciplina economica a pieno titolo.

Sebbene relativamente poco letto al di fuori della matematica al momento della pubblicazione, l’articolo del 1928 è oggi riconosciuto come l’atto di nascita della teoria dei giochi moderna. Il teorema del minimax vi resta pietra angolare — un caso particolare, dimostrabile indipendentemente, del più generale teorema di esistenza dell’equilibrio di Nash (1950), che estende l’idea di soluzione stabile ai giochi non a somma zero e a più giocatori. L’intera tradizione successiva della teoria dei giochi, con le sue applicazioni all’economia, alla biologia evolutiva, alla scienza politica e all’informatica teorica, si radica concettualmente in questo primo, denso lavoro di von Neumann.

Zur Theorie der Gesellschaftsspiele dimostra come un problema apparentemente ludico e marginale — l’analisi matematica dei giochi di società — potesse nascondere una struttura logica di enorme portata e generalità. Von Neumann trasformò un’osservazione informale sulla razionalità strategica in un teorema matematico rigoroso, aprendo la strada a una delle discipline più influenti del pensiero scientifico ed economico del Novecento. È un esempio paradigmatico di come l’astrazione matematica, applicata a un dominio inaspettato, possa generare strumenti concettuali capaci di illuminare fenomeni lontanissimi dal problema di partenza — dalla strategia militare alla biologia evolutiva, fino alle aste online.