Modelli matematici.

Modelli matematici
Modelli matematici, costo, ricavo, prezzo * quantità, guadagno, costi totali, costi fissi, costi variabili, ricerca operativa, vincoli, variabili d'azione, modello matematico, programmazione lineare, funzione obiettivo,

di Sergio Mauri

L’analisi della situazione, al pari dell’attuazione della soluzione, è importante. Tuttavia, è fondamentale la costruzione del modello e la sua risoluzione. I modelli matematici si esprimono con relazioni matematiche tra le variabili e la grandezza quantificabile da ottimizzare. Il modello matematico si costruisce utilizzando un numero basso di variabili e funzioni matematiche semplici.

Si esprime nel seguente modo:

  • La funzione obiettivo (F.O.); funzione che è da rendere massima o minima, quindi da ottimizzare. Di solito parliamo di guadagno, ricavo, costo. Si indica con Y;
  • Le variabili d’azione (V.A.); cioè le variabili da cui dipende la funzione obiettivo, come ad esempio la quantità da produrre di un certo bene. Si indica con X1, ,X2 ….Xn ;
  • I vincoli (di segno e tecnici); cioè le condizioni a cui devono sottostare le variabili d’azione. Come accennato sono vincoli tecnici, concernenti la capacità produttiva e di segno, ovvero Xi >= 0;
  • I dati, di tipo tecnico o economico; costi fissi (C.F.), costi variabili (C.V.), prezzi (p)

Vediamo ora alcuni tipi di modello matematico.

RICAVO = PREZZO * QUANTITA’                R(x) = p * x

COSTI TOTALI = COSTI FISSI + COSTI VARIABILI   C(x) = CF + CV(x)

GUADAGNO = RICAVI – COSTI                   G(x) = R(x) – C(x)

COSTO UNITARIO O MEDIO = COSTO TOTALE / QUANTITÀ                     Cu(x) = C(x)/x                                                                                                  

A loro volta, i modelli matematici devono essere risolti. Risolvere un problema di ottimizzazione vuol dire determinare l’ottimo della F.O. del modello stesso. Una volta costruito il modello matematico un apposito procedimento matematico permetterà di trovare la soluzione ottimale. I procedimenti matematici sono di tipo grafico (se si lavora al massimo con due variabili d’azione), analitico (attraverso l’applicazione di metodi algebrici[1] o di metodi dell’analisi infinitesimale[2]) ed iterativo (se le procedure risolutive sono ripetitive e perciò facilmente automatizzabili).

Utilizzo della Programmazione Lineare (P.L.):

All’interno della R.O. la P.L. si occupa di studiare algoritmi di risoluzione per problemi di ottimizzazione lineari che sono tali quando sia la F.O. che i vincoli sono funzioni lineari, cioè di 1° grado in forma di equazioni o disequazioni. Le V.A. non possono assumere valori negativi (vincoli di segno). I vincoli definiscono un campo di scelta detto regione ammissibile che è l’insieme delle soluzioni ammissibili.  Il punto di massimo o di minimo può essere solo in corrispondenza di un vertice o su tutto un lato, perciò la scelta cade sulle soluzioni ammissibili di base. Si deve allora calcolare il valore della funzione in ciascun vertice e vedere quali valori siano di massimo o minimo, ottenendo la soluzione ottimale.

Questo metodo risolve problemi che si presentano nella produzione aziendale al fine di determinare la miglior combinazione produttiva fra diversi elementi tenendo conto della disponibilità dei fattori produttivi, della pianificazione per il miglior utilizzo delle risorse ovvero impianti, personale, materie prime, eccetera. Quindi parliamo di distribuzione ottimale di risorse limitate fra diverse attività.

In questo caso il modello matematico consiste in una tabella contenente gli elementi significativi del problema. Quando il problema è di produzione aziendale, gli elementi sono: i diversi beni; le risorse, come le macchine e la manodopera; le disponibilità come le ore/macchina, le ore/operaio, la quantità materie prime; i tassi di assorbimento come la quantità di risorse necessarie per ogni unità prodotta; profitti o costi per costruire la F.O.; i livelli di produzione incogniti X1,,X2……Xn.


[1] Questo metodo risolve un problema di P.L. se la funzione economica è a tre o più variabili.

[2] Per il suo confrontarsi col concetto di infinito in matematica ha un rilievo fondamentale nella disciplina. Comprende il calcolo differenziale e quello integrale, la nozione di limite, lo studio delle funzioni.

Sergio Mauri
Autore Sergio Mauri Blogger e ideatore e-learning. Premio speciale al Concorso Claudia Ruggeri nel 2007; terzo posto al Premio Igor Slavich nel 2020. Ha pubblicato con Terra d’Ulivi nel 2007 e nel 2011, con Hammerle Editori nel 2013 e 2014 e con Historica Edizioni nel 2022.