La Congettura di Goldbach è uno dei problemi aperti più celebri della teoria dei numeri.
Fu formulata nel 1742 dal matematico prussiano Christian Goldbach in una lettera indirizzata a Leonhard Euler. In forma moderna: ogni numero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi. Esempi:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 5 + 5
• 12 = 5 + 7
• 100 = 47 + 53
• 1000 = 3 + 997

Nonostante la semplicità dell’enunciato, nessuno è ancora riuscito a dimostrarla per tutti i numeri naturali.

Versioni della congettura.

Versione forte (classica)

Per ogni numero pari n>2 :

È quella che normalmente si intende con “congettura di Goldbach”.

Versione debole.

Ogni numero dispari maggiore di 5 è somma di tre numeri primi.

Esempio:

• 7 = 2 + 2 + 3
• 9 = 2 + 2 + 5
• 11 = 3 + 3 + 5

Questa è stata dimostrata nel 2013 dal matematico Harald Helfgott.

Perché è difficile? Il problema riguarda la distribuzione dei numeri primi, che è irregolare, ma non casuale. Il teorema dei numeri primi dice che:

ma questo descrive solo la densità media, non la posizione precisa dei primi.

La congettura richiede invece una proprietà molto più forte: per ogni numero pari deve esistere almeno una coppia di primi adatta, cioè una proprietà locale, non statistica.

Interpretazione analitica.

Scriviamo la funzione caratteristica dei numeri primi:

Goldbach equivale a dire che la convoluzione:

cioè esiste almeno una decomposizione.

Questo collega la congettura all’analisi armonica e alla teoria dei numeri analitica.

Risultati parziali: verifica computazionale.

È stata verificata per tutti i numeri pari fino a oltre:

Quindi, se è falsa, il controesempio è enorme.

Teorema di Chen (1973).

Il matematico Chen Jingrun dimostrò che:

ogni numero pari sufficientemente grande è somma di un numero primo e di un semiprimo.

È considerato il risultato più vicino alla soluzione.

Metodo del cerchio (Hardy–Littlewood).

Gli sviluppi di Godfrey Harold Hardy e John Edensor Littlewood forniscono una formula asintotica:

dove

è il numero di rappresentazioni e

è la serie singolare.

Interpretazione: i numeri pari grandi hanno moltissime decomposizioni di Goldbach; quindi, la congettura è “quasi certamente vera”, ma non dimostrata.

I collegamenti profondi.

La congettura è legata all’ ipotesi di Riemann, alla distribuzione dei primi in progressioni aritmetiche, alla Teoria dei crivelli, all’analisi armonica su gruppi, all’Additive combinatorics. Una dimostrazione richiederebbe probabilmente nuovi strumenti matematici.

Il significato matematico.

Goldbach rappresenta un fenomeno tipico della teoria dei numeri: proprietà globalmente ovvia, ma localmente rigidissima. Statisticamente i primi sono abbastanza numerosi, ma dimostrare che coprono tutti i numeri pari è estremamente difficile.

La congettura di Goldbach è un paradosso matematico, ed è verificata per numeri giganteschi, supportata dalla probabilità, coerente con tutte le teorie, ma senza dimostrazione generale. È quindi uno dei problemi più semplici da capire e più difficili da dimostrare della matematica moderna, un esempio perfetto di come l’aritmetica elementare possa nascondere strutture profondissime.