L’asserzione di Fermat, nota oggi come Ultimo Teorema di Fermat, è uno dei risultati più celebri della storia della matematica. Per oltre tre secoli è rimasta una congettura non dimostrata, diventando un simbolo dei limiti e della profondità della teoria dei numeri. Fu enunciata nel XVII secolo dal matematico francese Pierre de Fermat e dimostrata solo nel 1994 da Andrew Wiles.
L’asserzione afferma: che non esistono soluzioni intere positive dell’equazione
per nessun intero .
In altre parole: per n = 2 esistono soluzioni, le terne pitagoriche:
per ogni esponente maggiore di 2 → nessuna soluzione intera non nulla.
Fermat scrisse questa affermazione nel margine di una copia dell’Arithmetica di Diofanto, aggiungendo la celebre nota:
“Ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa, ma il margine è troppo stretto per contenerla.”
Questa frase ha reso il problema leggendario. Non è mai stata trovata una dimostrazione di Fermat, e la maggior parte degli storici ritiene che non ne avesse una completa. Il problema è importante poiché l’asserzione è semplice da enunciare, ma estremamente difficile da dimostrare. Ha avuto un ruolo centrale nello sviluppo della teoria dei numeri, dell’algebra moderna, delle curve ellittiche, della teoria dei moduli, della geometria algebrica. È un esempio classico di problema con formulazione elementare e struttura profonda
Progressi parziali (XVII–XX secolo): nel tempo furono dimostrati casi particolari. Fermat stesso dimostrò il caso n = 4, Euler: n = 3, Dirichlet e Legendre: n = 5, Kummer sui molti esponenti primi regolari. Ernst Kummer introdusse i numeri ideali, aprendo la strada all’algebra dei numeri algebrici.
Nel 1994 il matematico britannico Andrew Wiles, con un contributo finale di Richard Taylor, dimostrò il teorema. La strategia non attacca direttamente l’equazione, ma collega il problema a oggetti molto più avanzati: le curve ellittiche, le forme modulari e la congettura di Taniyama–Shimura (oggi teorema di modularità).
L’idea chiave (semplificata) è che se esistesse una soluzione dell’equazione di Fermat, si potrebbe costruire una curva ellittica “anomala”. Tale curva violerebbe il teorema di modularità, poiché la modularità è vera → la soluzione non può esistere.
La dimostrazione usa strumenti di algebra e geometria molto avanzati, lontani dall’aritmetica elementare del problema. Qual è il suo significato matematico? L’asserzione di Fermat mostra che la semplicità dell’enunciato ≠ semplicità della dimostrazione, i problemi elementari possono richiedere teorie profonde e la matematica è una rete di collegamenti tra aree diverse
In definitiva l’asserzione di Fermat sostiene che l’equazione
non ha soluzioni intere positive per esponenti maggiori di due. Proposta nel Seicento, è rimasta irrisolta per oltre 350 anni, fino alla dimostrazione di Andrew Wiles basata sulla teoria delle curve ellittiche e delle forme modulari. È uno dei più celebri esempi di problema semplice da enunciare ma profondissimo nella struttura matematica.