La teoria di Georg Cantor, sviluppata alla fine del XIX secolo, ha rivoluzionato la matematica introducendo il concetto di infinito attuale: l’idea che l’infinito non sia solo un limite verso cui tendere, ma un oggetto che può essere misurato e confrontato. Per farlo, Cantor distinse due modi di intendere il “numero”: la quantità (cardinali) e la posizione (ordinali).

I numeri cardinali rispondono alla domanda: “quanti sono?”. Vediamo il concetto di equipotenza. Cantor stabilì che due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi (a ogni elemento del primo corrisponde esattamente uno del secondo).

• L’infinito numerabile (): Cantor dimostrò che l’insieme dei numeri naturali N ha la più piccola cardinalità infinita, chiamata Aleph-zero (). Sorprendentemente, scoprì che i numeri pari o i numeri razionali (Q) hanno la stessa “quantità” di elementi dei naturali, poiché possono essere messi in corrispondenza 1 a 1 con essi.
• Il Continuo (c): attraverso il celebre Argomento Diagonale, Cantor dimostrò che i numeri reali (R) sono “più numerosi” dei naturali. Esistono quindi diversi livelli di infinito.

I numeri ordinali rispondono alla domanda: “in che posizione si trova?”. Essi descrivono il tipo d’ordine di un insieme ben ordinato.

Oltre l’infinito: . Mentre per gli insiemi finiti cardinale e ordinale coincidono (un insieme di 5 elementi ha come ultimo posto il 5°), nell’infinito le cose cambiano.

• L’ordine naturale 0, 1, 2, 3, ….. è indicato con la lettera greca . È il primo ordinale transfinito.
• Se aggiungiamo un elemento dopo l’intera serie dei naturali, otteniamo un nuovo tipo d’ordine: +1.
• Possiamo continuare all’infinito:

La differenza fondamentale è che mentre la cardinalità guarda alla “massa” totale, l’ordinalità guarda alla struttura del piazzamento. Ad esempio, l’insieme {1, 2, 3, …..} e l’insieme {1, 2, 3, …., 0} (dove lo zero viene dopo tutti gli altri) hanno la stessa cardinalità (), ma ordinali diversi ( il primo,  + 1il secondo).

Vediamo ora l’ipotesi del continuo. Cantor ipotizzò che non esistesse alcuna cardinalità intermedia tra quella dei naturali () e quella dei reali (c). Questa è nota come Ipotesi del Continuo. Si scoprirà decenni dopo (grazie a Gödel e Cohen) che questa ipotesi è “indecidibile” all’interno degli assiomi standard della matematica (ZFC). Il Teorema di Cantor dimostra che per ogni insieme A, l’insieme delle sue parti P(A) (l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi) ha sempre una cardinalità strettamente superiore ad $A$. Questo implica che esiste una gerarchia infinita di infiniti sempre più grandi:

Quindi, la teoria di Cantor ha trasformato l’infinito da un concetto filosofico o teologico a un oggetto matematico rigoroso. Nonostante l’iniziale ostilità di molti contemporanei (come Kronecker o Poincaré), oggi il lavoro di Cantor è considerato il fondamento della teoria degli insiemi moderna.