I Principia Mathematica, pubblicati in tre volumi tra il 1910 e il 1913, rappresentano una delle opere più monumentali e ambiziose della storia della logica e della matematica. Scritta da Bertrand Russell e dal suo ex professore Alfred North Whitehead, l’opera è il culmine del progetto noto come Logicismo. Il fine ultimo dei Principia era dimostrare che tutta la matematica pura può essere derivata esclusivamente da principi logici. Russell e Whitehead volevano provare che i concetti matematici (come i numeri) possono essere definiti tramite termini logici (come classi e predicati) e che i teoremi matematici possono essere dedotti da assiomi logici usando regole di inferenza rigorose. In sostanza, l’opera mirava a eliminare ogni traccia di intuizione dalla matematica, rendendola una branca della logica formale.
Il libro fu scritto anche per rimediare al crollo della teoria degli insiemi di Frege, causato dal Paradosso di Russell (l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi). Per evitare contraddizioni auto-referenziali, Russell e Whitehead introdussero la Teoria dei Tipi Ramificata. Questa struttura gerarchica impedisce a un insieme di contenere se stesso, imponendo che una proprietà sia sempre di un “tipo” superiore rispetto agli oggetti a cui si riferisce.
L’opera è celebre per la sua densità e difficoltà. È scritta quasi interamente in linguaggio simbolico (basato in parte sulla notazione di Giuseppe Peano). Il rigore è tale che la dimostrazione formale della proposizione 1 + 1 = 2 compare solo a pagina 379 del primo volume, accompagnata dalla celebre e ironica nota: “la proposizione sopra citata è talvolta utile”.
I tre volumi coprono una vasta gamma di argomenti, costruendo la matematica “dal basso”: il Volume I tratta la logica matematica, la teoria delle classi, delle relazioni e i tipi logici; il II si occupa dell’aritmetica cardinale e della struttura dei numeri; il III analizza l’aritmetica ordinale e i sistemi di numeri reali. (Un quarto volume sulla geometria era previsto ma non fu mai completato).
Nonostante l’ingegnosità, Russell e Whitehead dovettero introdurre tre assiomi che molti logici considerarono “non puramente logici”, ma piuttosto empirici o arbitrari:
- assioma di Infinità per garantire l’esistenza di infiniti numeri;
- assioma di scelta necessario per alcune operazioni su insiemi infiniti;
- assioma di riducibilità introdotto per far funzionare la teoria dei tipi senza paralizzare la matematica.
Sebbene i Principia Mathematica abbiano influenzato enormemente la logica moderna, la filosofia analitica e l’informatica, il loro obiettivo principale fu infranto nel 1931 da Kurt Gödel. Con i suoi Teoremi di Incompletezza, Gödel dimostrò che in ogni sistema formale sufficientemente potente (come quello dei Principia) esistono proposizioni vere che non possono essere dimostrate all’interno del sistema stesso. Ciò provò che il sogno di Russell di una matematica completa e totalmente logicizzata era irrealizzabile.