Statistica Bayesiana · PHP Implementation

Teorema
di Bayes

P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)

Aggiorna la probabilità di un'ipotesi alla luce di nuove evidenze. Il posteriore di oggi è il priore di domani.

// Componenti della formula

P(A) → Probabilità a priori // cosa sappiamo prima dell'evidenza

P(B|A) → Verosimiglianza // prob. evidenza B dato A vero

P(B|¬A) → Falso positivo // prob. evidenza B dato A falso

P(B) → Prob. totale // = P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)

P(A|B) → Probabilità a posteriori ← il risultato

01 Test Diagnostico Medico

🏥 Malattia rara con test al 95%

Se il test è positivo, qual è la probabilità di essere realmente malato?

Input — priori

P(Malato) — prevalenza 1%

P(+|Malato) — sensibilità 95%

P(+|Sano) — falso positivo 5%

P(Test+) — prob. totale 5.9%

→

Output — posteriori

P(MALATO | TEST POSITIVO)

16.1%

Solo 16.1% reale, nonostante test al 95%!

Malato16.1%

Sano (falso positivo)83.9%

Paradosso: bassa prevalenza (1%) domina il risultato. Bayes Factor: 19.0000

02 Filtro Antispam

📧 Email contiene la parola "offerta"

Qual è la probabilità che sia spam?

Input — priori

P(Spam) — base rate 30%

P("offerta"|Spam) 80%

P("offerta"|Legit) 5%

Likelihood Ratio 16.0000x

→

Output

P(SPAM | "offerta")

87.27%

Alta prob. spam → blocca email

🚫

Spam87.27%

Legittima12.73%

03 Aggiornamento Sequenziale

🔄 Diagnosi progressiva — ogni evidenza aggiorna il priore

Il posteriore di ogni passo diventa il priore del successivo.

Priore iniziale

10%

Dopo evidenza 1

Sintomo A

30.8%

Dopo evidenza 2

Sintomo B

69%

Dopo evidenza 3

Test positivo

95.2%

Dopo evidenza 4

Sintomo C

97.6%

Probabilità finale: 97.56% — partendo dal 10% iniziale.

04 Naive Bayes — Analisi del Sentimento

"prodotto ottimo e bello"

😊

Positivo

Confidenza: 99.37%

Positivo99.37%

Negativo0.63%

"prodotto pessimo e terribile"

😤

Negativo

Confidenza: 99.97%

Negativo99.97%

Positivo0.03%